Aplicaţiile matematicii tind să fie din ce în ce mai variate şi să fie prezente atunci când (poate) ne aşteptăm mai puţin. O astfel de aplicaţie interesantă a fost oferită de criminalistul canadian Kim Rossmo (foto) în teza sa de doctorat [3] din 1995. El şi-a propus ca, pornind de la locaţiile geografice ale crimelor unui asasin în serie, să depisteze zona în care un criminal îşi desfăşoară activităţile curente (fie unde locuieşte, fie unde munceşte).

Prin criminal în serie (în continuare, îl vom numi şi subiect), înţelegem o persoană care a omorât cel puţin trei oameni, într-o perioada mai lungă decât o lună, dar cu o perioada de pauză între fiecare două crime consecutive.

În articolul de faţă, ne vom referi la o anumită categorie de criminali, şi anume, cei care îndeplinesc următoarele două condiţii:

• nu comit crime prea aproape de casa sa;

• nu se deplasează mai departe decât este necesar pentru a găsi noi victime.

Formula lui Rossmo, care se aplică ipotezelor de mai sus, este următoarea:

p_{i,j} = k \sum_{n=1}^{T} \left[ \frac{\phi}{ (|i-x_n| + |j-y_n|)^f }+\frac{(1-\phi)B^{g-f}}{ (2B - \mid i - x_n \mid - \mid j-y_n \mid)^g } \right].

Pentru a înţelege această formulă, să ne imaginăm pusă peste harta cu locaţiile crimelor o reţea de pătrate (pentru o detaliere a modului în care se alege această hartă, se poate consulta [3], p. 122), în care fiecare pătrat este definit de două coordonate: numărul rândului (i), respectiv al coloanei (j), pe care se află.

grid

Termenul din stânga (notat cu p_{i,j} ) reprezintă probabilitatea ca reşedinţa subiectului să fie în interiorul pătratului situat la intersecţia liniei i cu coloana j. Numărul k este o constantă. T reprezintă numărul total de crime.

Locaţiile crimelor săvârşite de subiect sunt situate în pătratele de coordonate (x_1,y_1), (x_2,y_2), …, (x_T, y_T). Uneori, când nu se ştie locaţia săvârşirii crimei, se consideră zona în care subiectul şi-a întâlnit victima sau locul descoperirii cadavrului.

Diferenţa |i-x_n| + |j-y_n| reprezintă distanţa (Manhattan) dintre pătratul (i,j) şi locul celei de-a n-a crime.

Pauză de Fortificare Intelectuală. În geometria introdusă în secolul al XIX-lea de matematicianul german Hermann Minkowski, numită apoi şi geometria taxiului, se înlocuieşte distanţa euclidiană, \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}, dintre punctele de coordonate (x_1,y_1) și (x_2,y_2), cu o nouă distanţă, ce este egală cu suma modulelor diferenţelor coordonatelor carteziene, adică |x_2-x_1| + |y_2-y_1|. Această distanţă mai este cunoscută, de la Teoria Măsurii, ca fiind norma spaţiului Lebesgue L^1. I se spune distanţa Manhattan (sau a taxiului) pentru că este drumul pe care un autoturism l-ar parcurge într-o zonă care are toate străzile perpendiculare, cum este Manhattanul.

manhatan

B reprezintă rază zonei tampon (acea regiune în jurul reşedinţei subiectului în care el nu comite crime). Valoarea lui B este extrem de importantă şi are nevoie de propria euristică pentru a asigura exactitatea rezultatelor. O alegere nepotrivită a lui B poate duce la zone de căutare foarte instabile, care variază când B este uşor modificată. Unii cercetători consideră rază zonei tampon ca distanţa medie dintre reşedinţa subiectului şi locaţiile crimelor sale, în timp ce altii o consideră ca distanţa dintre casă şi crima care a fost comisă cel mai aproape de casă.

Valoarea lui \phi este dată de următoarea: \phi=\begin{cases}1, \quad {\textrm{dac\u a }} |i-x_n| + |j-y_n|>B\\ 0, \quad {\textrm{\^ in caz contrar}}\end{cases}, pentru fiecare n\in\overline{1,T}. Aceasta înseamnă că, după ce am stabilit raza zonei tampon, dacă pătratul (i,j) se află la o distanţă mai mică de B faţă de locaţia unei crimei, atunci primul termen al sumei este egal cu 0. În mod asemănător, dacă pătratul (i,j) se află la o distanţă mai mare de B faţă de locaţia unei crimei, atunci al doilea termen al sumei este egal cu 0. Din acest considerent, \phi este numit de autor factor de ponderare.

Aşa cum susţine şi criminalistul în [3], valorile numerelor k, f,g sunt alese empiric. Pentru aplicarea acestei formule este nevoie de multă experienţă în domeniu (trebuie studiate cazurile trecute), dar şi inspiraţie. De asemenea, trebuie ţinut cont că p_{i,j} este o probabilitate, deci p_{i,j}\in[0,1].

Această formulă stă la baza programului Rigel, creat pentru depistarea profilului geografic al criminalilor, ce este deja folosit de Royal Canadian Mounted Police şi de Bundeskriminalamt, Germania.

rigel

Din moiment ce formula lui Rossmo ne furnizează probabilitate corespunzătoare fiecărui pătrat al hărţii, le putem colora pe acestea în funcţie de probabilităţile ataşate. Un pătrat ce are ataşată o probabilitate mică va fi colorat cu o culoare rece (sau chiar cu alb), un pătrat cu probabilitatea mare, va fi colorat cu o culoare aprinsă (nuanţe de portocaliu sau roşu). Astfel, creăm o hot zone map.

Ca aplicaţie a acestei formule, prezentăm doi criminali în serie la care formula lui Rossmo are succes [8].

Primul criminal în serie pe care îl vom investiga este Richard Chase, schizofrenic, cunoscut sub numele de Vampirul din Sacramento. Unul dintre cei mai înfricoşători criminali din istoria recentă. El a ucis cinci persoane în ianuarie 1978.

Dacă vom crea harta lui şi vom marca cu verde – locaţiile crimelor sale, cu negru – centrul de greutate al sistemului locaţiilor crimelor, şi cu mov – reşedinţa lui reală, vom observa că locaţia lui adevărată se află în zona hoţ, prezisă de formula lui Rossmo.

Următorul caz este cel al lui Albert DeSalvo, numit şi Strangulatorul din Boston. A fost acuzat de omorârea a 13 persoane. DeSalvo intra în casele victimelor sale cu nenumărate minciuni, se dădea drept: muncitor, instalator, automobilist cu maşina avariată, etc.

Harta corespunzătoare lui DeSalvo este următoarea:

Pentru alte exemple de criminali în serie şi hărţile lor corespunzătoare, poate fi consultată cartea [4].

Formula a fost aplicată de Kim Rossmo şi în studiul animalelor de pradă, cum ar fi rechinii albi [2]. Formula a fost o sursă de inspiraţie pentru acţiunea episodului Pilot al serialului NUMB3RS, precum şi pentru a celui de-al 21-lea episod din sezonul al cincilea, intitulat Disturbed.

De curând, cercetătorii Mikhail Simkin şi Vwani Roychowdhury, de la Universitatea din California, Los Angeles, au publicat un articol [5], în care prezintă formula care stă la baza comportamentelor ieşite din comun. Ei au aplicat rezultatele obţinute pe comportamentul lui Andrei Chikatilo, cunoscut ca Spintecătorul Roşu, cel care, în perioada 1978-1990, a omorât 53 de persoane. Potrivit acestor specialişti, predispoziţia de a ucide a criminalilor în serie poate fi explicată de grafice asemănătoare celor care permit prevestirea cutremurelor, avalanşelor, prăbuşirea burselor economice sau orice alte evenimente neprevăzute (Referitor la evenimentele neprevăzute, va recomandăm să citiţi [Nassim Nicholas Taleb, Lebădă neagră. Impactul foarte puţin probabilului, Editura Curtea Veche, Bucureşti, 2008]).

Cei doi cercetători au explicat distanţele diferite dintre momentele crimelor pe baza legii Stefan-Boltzmann. În articol, ei au propus un model de funcţie, conform căruia, subiectul comite o crimă atunci când excitaţia neuronală din creier depăşeşte un anumit prag.

BIBLIOGRAFIE

[1] Keith J. Devlin, Gary Lorden, The numbers behind NUMB3RS: solving crime with mathematics (illustrated ed.), Plume, New York, 2007.

[2] R. A. Martin, D. K. Rossmo, N. Hammerschlag, Hunting patterns and geographic profiling of white shark predation, Journal of Zoology, 279: 111-118, 2009.

[3] Kim D. Rossmo, Geographic profiling: target patterns of serial murderers (Ph. D. Thesis), Simon Fraser University, 1995.

[4] Kim D. Rossmo, Geographic profiling (illustrated ed.), CRC Press, New York, 2000.

[5] M.V. Simkin, V.P. Roychowdhury, Stochastic modeling of a serial killer, arXiv:1201.2458, 2012.

[6] http://en.wikipedia.org/.

[7] http://www.gândul.info/magazin/.

[8] http://jeremykun.com/.

(sursa: Alexandru Negrescu, Băieti, vă prindem! Matematica si criminalii în serie, Didactica Matematică nr. 2/2013, pp. 35-39)