Arhive categorie: I-CC

Tema la SERII DE PUTERI (I-CC+I-CA)

07 Vineri nov. 2014

Posted by in I-CA, I-CC, Matematica_I, Teme

≈ Scrie un comentariu

1. Determinați mulțimile de convergență a următoarelor serii de puteri:

a) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{(2n)!}x^n;

b) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}x^{2n}}{2^n+1};

c) \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{\ln{n}}x^n;

d) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2^{2n}\sqrt{(2n)!}}x^n;

e) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln n}x^n;

f) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}x^n;

g) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[e^{\frac{1}{n}}-1\right]x^n;

h) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\sin\frac{1}{n}\right)x^n;

i) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n+1}}x^n.

2. Reprezentați funcția f(x)=\ln (5-x) în serie de puteri și determinați-i intervalul de convergență.

3. Folosind seriile de puteri, calculați valorile următoarelor expresii:

a) 1+\frac{2}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{5}{5^4}+...;

b) 2\sqrt{\frac{\pi}{4}}-\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{5}{2}}+\frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{9}{2}}}{4\cdot 3}- \frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{13}{2}}}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}+....

3. Calculați valoarea seriei \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}, folosindu-vă de faptul că \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}, pentru \vert x \vert <1.

4. Evaluați cu o eroare mai mică de 10^{-3} valoarea integralei: \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x-{\textrm{arctg}}x}{x^3}dx.

5. Considerăm dezvoltarea în serie de puteri: \displaystyle \frac{1}{1-2x-x^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n. Arătați că, pentru orice număr natural n, există un număr natural m, astfel încât a_n^2+a_{n+1}^2=a_m.

6. Calculați \displaystyle \sum\limits_{m=1}^{\infty} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{m^2n}{3^m(n\cdot 3^m+m\cdot 3^n)}.

Tema la SIRURI SI SERII DE FUNCTII (I-CC+I-CA)

01 Sâmbătă nov. 2014

Posted by in I-CA, I-CC, Matematica_I, Teme

≈ Scrie un comentariu

1. Studiați convergența punctuală și convergența uniformă a următoarelor șiruri de funcții:

a) f_n: \mathbb R \rightarrow\mathbb R, f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}, n\in\mathbb N;

b) f_n: \left(0;1\right] \rightarrow \mathbb R, f_n(x)=x^{n}\ln{x}, n\in\mathbb N si f_n(0)=0;

c) f_n: \left[0;\infty\right) \rightarrow\mathbb R, f_n(x)=\frac{x}{n(1+x^n)}, n\in\mathbb N^*;

d) f_n: \left[a;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_n(x)=nx^{2}e^{-nx}, n\in\mathbb N, a>0;

e) f_n: \mathbb R \rightarrow\mathbb R, f_n(x)=\frac{2^{n}x}{1+n2^{n}x^2}, n\in\mathbb N;

f) f_n: \left[0;1\right] \rightarrow \mathbb R, f_n(x)=4^{n}\left(x^{2^{n}}-x^{2^{n+1}}\right), n\in\mathbb N;

g) f_n: \left[0;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_n(x)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n daca x\in[0;n] si f_n(x)=0 daca x>n.

2. a) Arătați că șirul (f_n) de funcții f_n:\left[0;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_n(x)=x\left(1+n^{\alpha}e^{-nx}\right), \alpha \in \mathbb R, n\in \mathbb N^*, converge punctual la o funcție ce se cere determinată.

b) Determinați valorile lui \alpha pentru care convergența este și uniformă.

c) Calculați \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_0^1 x\left(1+\sqrt{n}e^{-nx}\right)dx.

3. Fie șirul (f_n) de funcții f_n: \left[0;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_0(x)=x si f_{n+1}(x)=\frac{x}{2+f_n(x)}, n\in\mathbb N. Studiați convergența punctuală și convergența uniformă a acestui șir de funcții.

4. Fie șirul (f_n) de funcții f_n: \left[0;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_{n}(x)=\frac{x^{n}e^{-x}}{n!}, n\in\mathbb N. Studiați convergența punctuală și convergența uniformă a acestui șir de funcții.

5. Fie f_n: \left[0;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_{n}(x)=\frac{x}{(1+n^2x)^2}, n\in\mathbb N. Studiati convergența uniformă a seriilor de funcții \sum f_n și \sum f_n'.

Tema la SPATII METRICE (I-CA+I-CC)

01 Sâmbătă nov. 2014

Posted by in I-CA, I-CC, Matematica_I, Teme

≈ 3 comentarii

1. Fie C[0;1] mulțimea tuturor funcțiilor continue definite pe intervalul [0;1] ce iau valori reale. Arătați că C[0;1] formează un spațiu metric cu distanța d(f;g)=\sup\limits_{x\in [0;1]}\vert f(x)-g(x)\vert.

2. Dacă (X;d) este un spațiu metric, arătați că \left(X;\frac{d}{1+d}\right) este un spațiu metric.

3. Care dintre mulțimile de mai jos sunt deschise?

a) \{x\in\mathbb R \mid 2<x<4\}\subset \mathbb R;

b) \{x\in\mathbb R \mid \vert x\vert \geq 1\}\subset \mathbb R;

c) \mathbb Q \subset \mathbb R;

d) \{(x,y)\in \mathbb R^2 \mid x>0 {\textrm{ sau }} y>0\}\subset \mathbb R^2;

e) \{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \mid x^2+y^2<1, z=0\}\subset \mathbb R^3.

4. Studiați dacă următoarele funcții f:X\rightarrow X sunt contracții pe mulțimile indicate:

a) f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{3}{x}\right) pe X=\left[\sqrt{\frac{3}{2}};\infty\right);

b) f(x)=\cos x pe X=\mathbb R;

c) f(x)=\cos x pe X=[0;1];

d) f(x)=ax+b, \vert a\vert <1 pe X=\mathbb R;

e) f(x)=\frac{1}{1+x} pe X=[0;1];

f) f(x)=\frac{2x}{1+x^2} pe X=\mathbb R;

g) f(x)=\sqrt{x} pe X=[1;\infty);

h) f(x)=\sqrt{x^2+1} pe X=\mathbb R (f admite puncte fixe?).

5. Să se aproximeze cu o eroare mai mică decât 10^{-3} soluțiile ecuațiilor:

a) x^3+2x-1=0;

b) x^4+3x-2=0.

6. Dați exemplu de un spațiu metric (X;d) și de o funcție f:X\rightarrow X pentru care d(f(x);f(y))\leq d(x;y) și f nu are puncte fixe.

7*. Arătați că ecuația integrală \displaystyle x(t)=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\textrm{arctg}}\left(\frac{x(s)}{2}+t\right)ds are o unică soluție pe C\left(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\right). (În legătură cu problema 1.)

Tema la SERII (I-CA+I-CC+doritori)

23 Joi oct. 2014

Posted by in I-A, I-CA, I-CC, I-G, Matematica_I, Teme

≈ Scrie un comentariu

Studiați natura seriilor:

1. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2-2n+2}{\sqrt{n^6+6n^3+3}};

2. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n\sqrt[3]{n}+1}{n^2+4n+3};

3. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{2}{7}\right)^n;

4. \sum\limits_{n=1}^{\infty}(n^2+1)\ln\left(1+\frac{1}{n^2+1}\right);

5. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n}{n^3+5^n};

6. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n+n};

7. \sum\limits_{n=0}^{\infty}\textrm{arctg }\frac{1}{n^2+3n+3};

8. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}e^{-(n^2+n)};

9. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^2+3}{n^2+2};

10. \sum\limits_{n=1}^{\infty}2^n\sin\frac{1}{3^n};

11. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{n-1}}{n^{n+1}};

12. \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n};

13. \sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^n;

14. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}};

15. \sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{-\frac{n}{3}}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^3};

16. \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^2\sin\frac{\pi}{2^n};

17. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{1}{2n+1};

18. \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{2\dot 5\dot 8\dot ...\dot (3n+2)};

19. \sum\limits_{n=1}^{\infty}7^{\ln n};

20. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos{2n}}{n^2};

21. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n\ln n}{(n+1)^3} (indicație: criteriul de comparație, apoi criteriul integral al lui Cauchy);

22. \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n} (indicație: criteriul lui Cauchy de condensare);

23. \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+2}} (indicație: criteriul lui Leibniz);

24. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n\cos n^2}{\sqrt{n}+\sqrt[3]{n}} (indicație: criteriul lui Dirichlet);

25. \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n\cos\frac{1}{n}}{\sqrt{n+2}} (indicație: criteriile Dirichlet și, apoi, Abel).

5995342