I-CB | alexnegrescu

1. Arătați că $S=\left\{v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}; v_2=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}; v_3=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\right\}$ este o bază pentru $\mathbb R^3$ .

2. Arătați că $S=\left\{v_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}; v_2=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}; v_3=\begin{pmatrix}2\\4\\7\end{pmatrix}\right\}$ este sistem liniar dependent și precizați o relație de dependență liniară între vectorii săi.

3. Studiați liniara independență a sistemelor de vectori:

a) $S_1=\left\{v_1=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}; v_2=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}; v_3=\begin{pmatrix}-1&-3\\1&3\end{pmatrix}\right\}$ in $\mathcal M_2(\mathbb R)$ ;

b) $S_2=\left\{v_1=-2X^2+X+1; v_2=X^2-2X+1; v_3=X^2+X-2\right\}$ in $\mathbb R_2[X]$ .

3. Dacă $S=\{v_1,v_2,...,v_n\}$ este un sistem liniar independent în $\mathbb R^n$ , studiați liniara independență a sistemului de vectori $T=\{w_1=v_1+v_2; w_2=v_2+v_3; ...;w_n=v_n+v_1\}$ .

4. Fie $S=\{v_1=X^3+X+3; v_2=2X^3-X^2+2; v_3=X^2+3\}$ .

a) Demonstrați că $S$ este sistem liniar independent în $\mathbb R_3[X]$ .

b) Care dintre polinoamele $P=2X+1$ și $Q=X+2$ aparține subspațiului $\textrm{span }S$ ?

c) Este $S$ o bază pentru $\mathbb R_3[X]$ ?

5. Determinați coordonatele vectorului $v=\begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}$ în baza $B=\left\{v_1=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}; v_2=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}; v_3=\begin{pmatrix}-1\\-1\\-2\end{pmatrix}\right\}$ a lui $\mathbb R^3$ .

6. Arătați că orice sistem de vectori ce conține vectorul nul este liniar dependent.

7. Determinați matricea de trecere de la baza $B_1=\{e_1+e_2; e_1-e_2; e_1+e_2+e_3\}$ la baza $B_2=\{2e_2+e_3; e_1+2e_3; e_1+2e_2+e_3\}$ în spațiul vectorial $\mathbb R^3$ .