1. Determinați mulțimile de convergență a următoarelor serii de puteri:

a) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{(2n)!}x^n;

b) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}x^{2n}}{2^n+1};

c) \sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{\ln{n}}x^n;

d) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2^{2n}\sqrt{(2n)!}}x^n;

e) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln n}x^n;

f) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}x^n;

g) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left[e^{\frac{1}{n}}-1\right]x^n;

h) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\sin\frac{1}{n}\right)x^n;

i) \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n+1}}x^n.

2. Reprezentați funcția f(x)=\ln (5-x) în serie de puteri și determinați-i intervalul de convergență.

3. Folosind seriile de puteri, calculați valorile următoarelor expresii:

a) 1+\frac{2}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{5}{5^4}+...;

b) 2\sqrt{\frac{\pi}{4}}-\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{5}{2}}+\frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{9}{2}}}{4\cdot 3}- \frac{\left(\frac{\pi}{4}\right)^{\frac{13}{2}}}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}+....

3. Calculați valoarea seriei \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}, folosindu-vă de faptul că \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}, pentru \vert x \vert <1.

4. Evaluați cu o eroare mai mică de 10^{-3} valoarea integralei: \displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x-{\textrm{arctg}}x}{x^3}dx.

5. Considerăm dezvoltarea în serie de puteri: \displaystyle \frac{1}{1-2x-x^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n. Arătați că, pentru orice număr natural n, există un număr natural m, astfel încât a_n^2+a_{n+1}^2=a_m.

6. Calculați \displaystyle \sum\limits_{m=1}^{\infty} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{m^2n}{3^m(n\cdot 3^m+m\cdot 3^n)}.