1. Determinați nucleul și imaginea următoarelor transformări liniare:

a) T:\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R^3, T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1-x_3\\x_1+2x_2-x_3\\x_1-x_3\end{pmatrix};

b) T:\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R^2, T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.

2. Dacă T:\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R^3 este o transformare liniară ce verifică relațiile T\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}, T\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 0\\2\end{pmatrix}, T\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}, aflați T\begin{pmatrix}5\\ 3\\ 2\end{pmatrix}.

3. Găsiți o transformare liniară T:\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R^2 pentru care T(e_1)=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, T(e_2)=\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}, T(e_3)=\begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix}.

4. Considerăm transformarea liniară T:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^2, dată prin T\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}. Aflați matricea transformării T în baza \left\{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}; \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\right\}.

5. Considerăm transformarea T:\mathbb R_1[X]\rightarrow\mathbb R, T(p(x))=\int_0^1p(x)dx. Arătați că transformarea este liniară, aflați nucleul și imaginea ei și verificați ”rank-nullity theorem”.

6. Considerăm transformarea T:\mathbb R^2 \rightarrow\mathbb R^2, T\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1+kx_2\\-x_2\end{pmatrix},k\in \mathbb R.

a) Arătați că transformarea T este liniară.

b) Arătați că transformarea T este bijectivă.

c) Aflați transformarea inversă T^{-1}:\mathbb R^2 \rightarrow\mathbb R^2.