1. Fie C[0;1] mulțimea tuturor funcțiilor continue definite pe intervalul [0;1] ce iau valori reale. Arătați că C[0;1] formează un spațiu metric cu distanța d(f;g)=\sup\limits_{x\in [0;1]}\vert f(x)-g(x)\vert.

2. Dacă (X;d) este un spațiu metric, arătați că \left(X;\frac{d}{1+d}\right) este un spațiu metric.

3. Care dintre mulțimile de mai jos sunt deschise?

a) \{x\in\mathbb R \mid 2<x<4\}\subset \mathbb R;

b) \{x\in\mathbb R \mid \vert x\vert \geq 1\}\subset \mathbb R;

c) \mathbb Q \subset \mathbb R;

d) \{(x,y)\in \mathbb R^2 \mid x>0 {\textrm{ sau }} y>0\}\subset \mathbb R^2;

e) \{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \mid x^2+y^2<1, z=0\}\subset \mathbb R^3.

4. Studiați dacă următoarele funcții f:X\rightarrow X sunt contracții pe mulțimile indicate:

a) f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{3}{x}\right) pe X=\left[\sqrt{\frac{3}{2}};\infty\right);

b) f(x)=\cos x pe X=\mathbb R;

c) f(x)=\cos x pe X=[0;1];

d) f(x)=ax+b, \vert a\vert <1 pe X=\mathbb R;

e) f(x)=\frac{1}{1+x} pe X=[0;1];

f) f(x)=\frac{2x}{1+x^2} pe X=\mathbb R;

g) f(x)=\sqrt{x} pe X=[1;\infty);

h) f(x)=\sqrt{x^2+1} pe X=\mathbb R (f admite puncte fixe?).

5. Să se aproximeze cu o eroare mai mică decât 10^{-3} soluțiile ecuațiilor:

a) x^3+2x-1=0;

b) x^4+3x-2=0.

6. Dați exemplu de un spațiu metric (X;d) și de o funcție f:X\rightarrow X pentru care d(f(x);f(y))\leq d(x;y) și f nu are puncte fixe.

7*. Arătați că ecuația integrală \displaystyle x(t)=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\textrm{arctg}}\left(\frac{x(s)}{2}+t\right)ds are o unică soluție pe C\left(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\right). (În legătură cu problema 1.)