1. Studiați convergența punctuală și convergența uniformă a următoarelor șiruri de funcții:

a) f_n: \mathbb R \rightarrow\mathbb R, f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}, n\in\mathbb N;

b) f_n: \left(0;1\right] \rightarrow \mathbb R, f_n(x)=x^{n}\ln{x}, n\in\mathbb N si f_n(0)=0;

c) f_n: \left[0;\infty\right) \rightarrow\mathbb R, f_n(x)=\frac{x}{n(1+x^n)}, n\in\mathbb N^*;

d) f_n: \left[a;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_n(x)=nx^{2}e^{-nx}, n\in\mathbb N, a>0;

e) f_n: \mathbb R \rightarrow\mathbb R, f_n(x)=\frac{2^{n}x}{1+n2^{n}x^2}, n\in\mathbb N;

f) f_n: \left[0;1\right] \rightarrow \mathbb R, f_n(x)=4^{n}\left(x^{2^{n}}-x^{2^{n+1}}\right), n\in\mathbb N;

g) f_n: \left[0;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_n(x)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n daca x\in[0;n] si f_n(x)=0 daca x>n.

2. a) Arătați că șirul (f_n) de funcții f_n:\left[0;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_n(x)=x\left(1+n^{\alpha}e^{-nx}\right), \alpha \in \mathbb R, n\in \mathbb N^*, converge punctual la o funcție ce se cere determinată.

b) Determinați valorile lui \alpha pentru care convergența este și uniformă.

c) Calculați \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_0^1 x\left(1+\sqrt{n}e^{-nx}\right)dx.

3. Fie șirul (f_n) de funcții f_n: \left[0;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_0(x)=x si f_{n+1}(x)=\frac{x}{2+f_n(x)}, n\in\mathbb N. Studiați convergența punctuală și convergența uniformă a acestui șir de funcții.

4. Fie șirul (f_n) de funcții f_n: \left[0;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_{n}(x)=\frac{x^{n}e^{-x}}{n!}, n\in\mathbb N. Studiați convergența punctuală și convergența uniformă a acestui șir de funcții.

5. Fie f_n: \left[0;\infty\right) \rightarrow \mathbb R, f_{n}(x)=\frac{x}{(1+n^2x)^2}, n\in\mathbb N. Studiati convergența uniformă a seriilor de funcții \sum f_n și \sum f_n'.